Menurunkan Persamaan Euler-Lagrange Melalui Prinsip D’Alembert

Kita akan memulai dengan $S$ sebagai integral dari fungsional $f[…]$

$$ S = \int_{x_1}^{x_2} \mathrm{d}x~f[y(x), y’(x), x] \tag{1} $$

di mana $y(x)$ adalah kurva yang belum diketahui, yang menghubungkan ($x_1, y_1$) dan ($x_2, y_2$), sehingga

$$ y(x_1) = y_1 ~~~\text{and}~~~ y(x_2) = y_2\tag{2} $$

Di antara semua kemungkinan kurva yang memenuhi Persamaan (2), kita harus mencari satu kurva yang meminimumkan (atau memaksimumkan, atau setidaknya stasionar) integral $S$. Perhatikan bahwa fungsional $f[…]$ pada Persamaan (1) adalah fungsi dari tiga variabel (variabel dalam konteks fungsional bisa berupa fungsi). Namun, karena integral mengikuti lintasan $y=y(x)$, integrand $f[y(x),y’(x), x]$ adalah fungsi dari satu variabel $x$.

Jika kita menuliskan solusi yang kita inginkan (yaitu kurva yang membuat $S$ minimum) sebagai $y = y(x)$ maka integral $S$ dalam Persamaan (1) pada $y=y(x)$ nilainya kurang dari sembarang kurva $y=Y(x)$ di mana

$$ Y(x)=y(x) + \eta(x)\tag{3} $$

dengan $\eta(x)$ adalah bump atau simpangan antara kurva $y(x)$ dengan $Y(x)$. Karena $Y(x)$ harus melewati titik awal/$x_1$ dan akhir/$x_2$ maka $\eta(x)$ harus memenuhi

$$ \eta(x_1)=\eta(x_2)=0\tag{4} $$

Tentu ada banyak (tak-hingga) pilihan untuk $\eta(x)$, misalnya, kita bisa memilih $\eta = (x-x_1)(x_2-x)$ atau $\eta(x)=\sin[\pi(x-x_1)/(x_2-x_1)]$

Integral $S$ yang dilakukan disepanjang kurva $Y(x)$ harus lebih besar dibandingkan ketika diambil pada kurva $y(x)$. Untuk menyatakan perysaratan ini, saya akan memperkenalkan parameter $\alpha$ dan mendifinisikan ulang $Y(x)$ sebagai

$$ Y(x)=y(x)+\alpha \eta(x)\tag{5} $$

Sekarang, integral $S$ yang diambil pada kurva $Y(x)$ bergantung pada parameter $\alpha$, sehingga saya dapat menyebutnya $S(\alpha)$. Kurva target kita, yaitu $y(x)$ didapatkan melalui Persamaan (5) dengan men-set $\alpha =0$. Untuk melakukan ini, kita hanya perlu memeriksa $\mathrm{d}S/\mathrm{d}a = 0$ ketika $\alpha=0$.

Secara detail, integral $S(\alpha)$ adalah sebagai berikut:

$$ \begin{aligned} S(\alpha) &= \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}x\ f(Y, Y’, x) \ &= \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}x\ f(y+\alpha \eta, y’+\alpha \eta’, x)\tag{5} \end{aligned} $$

Untuk mendiferensialkan Persamaan (5) terhadap $\alpha$, kita harus melakukan $\partial f/\partial \alpha$. Karena $\alpha$ muncul pada dua argumen dari $f$, maka $\partial f/\partial \alpha$ akan memberikan dua suku:

$$ \frac{\partial}{\partial \alpha} f(y+\alpha \eta, y’+\alpha\eta’, x) = \eta \frac{\partial f}{\partial y} + \eta’\frac{\partial f}{\partial y’}, $$

dan untuk $\mathrm{d}S/\mathrm{d}a$ yang harus sama dengan nol, maka

$$ \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}a} = \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}x\ \frac{\partial f}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}x\ \left( \eta \frac{\partial f}{\partial y}+\eta’\frac{\partial f}{\partial y’}\tag{6} \right) = 0. $$

Kondisi ini harus benar, untuk sembarang $\eta(x)$ yang memenuhi Persamaan (4).

Jika kita menuliskan suku kedua pada ruas kanan dengan integal parsial maka,

Karena kondisi Persamaan (4), suku pertama pada ruas kanan sama dengan nol, sehingga

$$ \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}x\ \eta’(x)\frac{\partial f}{\partial y’} = - \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}x\ \eta(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{\partial f}{\partial y’}\right).\tag{7} $$

Dengan mensubtitusi Persamaan (7) ke (6), didapatkan

$$ \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}x\ \eta(x) \left( \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y’} \right)=0. $$

Kondisi di atas harus dipenuhi untuk sembarang fungsi $\eta(x)$. Sehingga, faktor di dalam suku di dalam tanda kurung besar harus sama dengan nol.

$$ \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y’} = 0.\tag{Persamaan Euler-Lagrange} $$